2.1.3 浮点数尾数基值的选择

　　从上一节的分析中看到，浮点数的表数范围、表数精度和表数效率三个主要性质都与尾数的基值有关。因此，本节专门介绍在设计一种浮点数表示方式时，尾数基值应当如何选择。
　　实际上，在表示浮点数的6个参数中，只有尾数基值、尾数长度p和阶码长度q这三个参数与浮点数的表数范围、表数精度和表数效率三个主要性质有关。另外，在通用计算机中，浮点数的总字长通常是确定的，目前多为32或64个二进制位，而在总字长中，除了尾数符号和阶码符号各个占去一个二进制位之外，其余就是尾数长度p与阶码长度q之和。所以，设计一种浮点数表示方式的关键是要解决两个问题，一是在浮点数的总字长（主要是尾数长度p与阶码长度q之和）给定的情况下，如何选择尾数基值，使浮点数的表数范围最大、表数精度和表数效率最高；二是在尾数基值确定之后，如何根据表数范围和表数精度的要求具有确定尾数长度p与阶码长度q；本节主要介绍前一个问题，下一节介绍后一个问题。
　　从(2.5)中看到，浮点数的表数范围主要与阶码长度q和尾数基值有关，从(2.6)中看到，表数精度主要与尾数长度p和尾数基值有关。我们假设有两种浮点数表示方式F1和F2，它们二进制字长相同，尾数都用原码或补码、小数表示，阶码都用移码、整数表示，阶码的基均为2，而尾数的基不同。
　　浮点数表示方式F1：尾数基值＝2，尾数长度p1，阶码长度q1，二进制字长：L1＝p1＋q1＋2。
　　浮点数表示方式F2：尾数基值＝2k(k为正整数)，尾数长度p2，阶码长度q2，二进制字长：L2＝k p2＋q2＋2。
　　由F1与F2的二进制字长相同，即L1＝L2，得：
　　　　p1＋q1＝k p2＋q2　　　　　　　　（2.10）
　　下面，首先介绍浮点数字长和表数范围一定时，尾数基值与表是精度的关系。
　　由上一节的(2.5)知道：F1的表数范围是：
　　　　，
　　同样，F2的表数范围是：
　　　　，即：
　　因为F1与F2的表数范围相同，所以F1与F2的阶码应当相等：
　　　　
　　两边分别取以2为底的对数，得到：
　　　　　　　　　　（2.11）
　　把(2.11)式代入(2.10)式，得到：
　　　　（2.12）
　　由上一节的(2.6)知道：F1的表数精度是：
　　　　 　　　　　　（2.13）
　　把(2.12)代入(2.13)得到：
　　　　
　　F1的表数精度是：
　　　　
　　为了考察F1与F2的表数精度之间的关系，取它们的比值：
　　　　 　　　　（2.14）
　　从(2.14)式中可以看出，只有k＝1（表示尾数基值＝2）或k＝2（表示尾数基值＝4）时，比值T＝1，当k取其它任何值时，比值T都大与1（T＞1表示F2的精度低于F1）。
　　因此，可以得出结论：在浮点数的字长和表数范围一定时，尾数基值取2或4具有最高的表数精度。