十、B样条曲线的降阶
    为了实现不同CAD系统之间的产品数据交换，曲线的降阶逼近技术是常用的基本工具。一般而言Bézier曲线的降阶比B样条曲线的降阶要简单一些。1995年，Piegl和Tiller先将B样条转换成为一系列的Bézier曲线，然后对各条Bézier曲线进行降阶，最后再把他们拼接成B样条曲线并去除多余的重节点。1998年Wolters等将B样条曲线升阶的开花（blossom）算法的公式用于B样条曲线的降阶，并对曲线进行光顺设计。这些算法的逼近误差通常都比较大。
��下面，我们首先给出B样条曲线退化的充要条件，然后利用B样条升阶恒等式，导出B样条曲线降阶的算法，最后并对降阶后的曲线进行误差分析。
6.4.1.10.1 B样条曲线可降阶的充要条件
B样条曲线是一种分段连续曲线。给定曲线的n个控制点V_i(i=0,1,...,n-1) 和节点t_i(i=0,1,...,n+k-1)，节点矢量T= {t₀ t₁ ... t_n+k-1}。
当t∈[t_j+k-1,t_j+k) 时，k阶Ｂ样条曲线可以表示为 c^k(t)=V_jB_j,k(t)，或者：
��左（6－4－19）
其中，∈[0,1)，B_i,k(u) 为ｋ阶B样条基函数， M^k(i)为该曲线在t∈[t_i,t_i+1]时的k×k 阶基矩阵，该基矩阵可以由递推公式（6－4－5）求出。
显然，曲线c^k_j(u)可降阶的（又称为退化的）充要条件为c^k_j(u)=c_j^k-1(u) ，其充要条件可以表示为：
��左（6－4－20）
对曲线的控制顶点V_i选取适当的扰动ε_i，使得扰动后的曲线
��左（6－4－21）
满足退化条件：
��左（6－4－22）
    取所得曲线 为 c^k_j(u)的降阶逼近曲线。由于扰动后，该曲线的次数已由（k-1）降到（k-2），因此扰动后的曲线可以准确的降为k-1阶。