九、B样条曲线的升阶     在计算机辅助设计、几何造型以及工程曲面的计算机辅助几何设计等许多领域中, 自由曲线和曲面都起着重要作用。曲线升阶是自由曲线和曲面造型中最重要、也是最常用的关键技术之一。其重要性主要表现在三方面：其一, 升阶可以增加几何造型的柔性, 或者说提高其形状控制的灵活性。因为通过升阶, 增加了控制顶点数, 从而也就增加了自由度。其二, 升阶是表示和设计组合曲线时必不可少的工具和手段。因为两条或多条不同阶次的B样条曲线要依次连接成为一条组合B样条曲线时, 必须使用升阶方法。第三, 升阶是构造蒙皮、扫描曲面和组合曲面的重要工具。例如, 若截面线的阶次不一致, 则必须通过升阶, 使其阶次一致后, 才能生成蒙皮曲面。这在表示和生成蒙皮、扫描曲面和组合曲面时都是非常重要的, 也是必不可少的一种技术。     与Bezier曲线升阶方法相比, B样条曲线的升阶要复杂得多。     下面，我们首先介绍B样条函数的一个升阶恒等式, 然后介绍一个用于B样条曲线升阶的算法。该算法计算简便、速度快; 当用于一段均匀B样条曲线的升阶时, 不需要在节点矢量中间插入任何节点, 升阶后仍然是均匀B样条曲线, 而现有的其它方法都需要插入节点; 所增加的控制点数最少--仅仅增加一个控制顶点。 6.4.1.9.1 升阶恒等式     可以证明,k阶B样条基函数可以表示成为k+1阶B样条基函数的线性组合,即:(左)