五、B样条曲线的矩阵表示
1）二阶B样条曲线
设空间P₀ P₁, …., P_n为n+1个控制点，节点矢量为

其中每相邻两个控制点之间可以构造出一段二阶B样条曲线。其中的第j=i-1段二阶B样条曲线P_j(t)的矩阵表示为：

；
其中，

。
��对于二阶均匀B样条曲线，其矩阵表示与非均匀B样条曲线的相同：

��。

2）三阶B样条曲线
给定节点矢量为，n+1个控制点为P₀，P₁, …., P_n。其中每相邻三个点可构造出一段二次的B样条曲线。其中的第j（=i-2）段三阶B样条曲线P_j(u)的矩阵表示为：
；
其中，
。
对于三阶均匀B样条曲线，其矩阵表示为
。

三阶均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导数矢量分别为：

P_i,3(0)=(P_i+P_i＋1)/2，
P_i,3(1)=(P_i＋1+P_i+2)/2；
P'_i,3(0)= P_i＋1-P_i，
P'_i,3(1)=P_i+2-P_i＋1，
P'_i,3(1)=P'_i+1,3(0)；
P''_i,3(t)=P_i-2P_i＋1+P_i+2 ,

   三阶均匀B样条曲线的首末点通过相应边的中点；首末点的切矢方向与相应边重合；二阶导数矢量等于该曲线的两条边矢量P_i＋1-P_i 和P_i+2-P_i＋1所构成的对角线矢量。
    三阶均匀B样条曲线段为抛物线，两相邻曲线段之间为一阶连续。
3）四阶B样条曲线
    设节点矢量为，控制点为P₀ P₁, …., P_n，其中每相邻四个点可构造出一段三次的B样条曲线。其中的第j(=i-3)段三次B样条曲线P_i(u)的矩阵表示为：
;。
其中，
,
��m_3,2 =-m_2,2/3- m_3,3-(t_i+1-t_i)2/[( t_i+2-t_i)(t_i+2-t_i-1)],m_r,j是第r行第j列的元素。
    第j(=i-3)段三次均匀B样条曲线P_j(t)的矩阵表示：
。
    三次均匀B样条曲线的端点位置、一阶导数和二阶导矢量分别为：

P_i,4(0)=（P_i+4P_i＋1+P_i+2）/6，

P_i,4(1)=（P_i＋1+4P_i+2+P_i+3）/6；

P'_i,4(0)=（P_i+2-P_i ）/2，

P'_i,4(1)= （P_i+3-P_i＋1 ）/2，

P'_i,3(1)= P'_i+1,3(0)；

P''_i,4(0)= P_i-2P_i＋1+ P_i+2，

P'_i,4(1)= P_i＋1-2P_i+2+ P_i+3。

   三次均匀B样条曲线段的起点位于以P_j+1P_j和P_j+1P_j+2为邻边的平行四边形的对角线的1/6处；起点的切矢量与P_jP_j+2平行，切矢量的长度；曲线段起点的二阶导数矢量等于以P_j+1P_j和P_j+1P_j+2为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量。
4）k阶B样条曲线
设节点矢量为，控制点为P₀，P₁, …., P_n，其中每相邻k个控制点可构造出一段k阶B样条曲线。其中的第j(=i-k＋1)段曲线P_i-k+1(u)的矩阵表示为：
（6－4－4）
;
;

其中，M^k(i)称为k阶B样条基矩阵，它由下列递归公式计算：
（6－4－5）

如果，i＝0，1，…，n+k-1，则由（6－4－4）式所定义的曲线P_i-k+1(u) （i=k-1, k,…,n）为均匀B样条曲线，这时，k阶B样条基矩阵M^k(i)与i无关，简记为M^k：

上式也可以显式地表示为：

其中，
。