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7．Hopfield网络
Hopfield网络是Hopfield在1982年提出的，是神经网络第二次研究热潮的开端．Hopfield网络可分为离散型和连续型两种形式，这里主要讨论离散型Hopfiled网络。
离散Hopfield网络是单层神经元网络，所有神经元之间都存在双向的连接。每个神经元有两个可能的状态，分别用1和-1表示，因此也称为二值Hopfield网络。设整个网络由n个神经元组成，则网络的状态由所有的n个神经元的状态组成，表示为一个n维向量U={uo,u1,…uk-1}T．设在时刻t时神经元j的状态为uj，从神经元i到神经元j的连接权值为tij(当i=j时，tij=0)，则时刻t+1时有
uj(t+1)=sgn(Sj)
每个神经元状态的变化都可能引起其他神经元状态的变化。已经证明，若有tij=tji，则网络肯定可以收敛到一个稳定状态。但当tij≠tji时，许多网络结构也能收敛。对于n个神经元的Hopfiled网络，共有n(n-1) 个连接。
Hopfield网络的能量E定义为所有神经元能量之和：
每个神经元的能量定义为
神经元状态的改变会引起能量的改变。为清楚起见，将Ej写成
设uj发生改变，则可分为两种情况。第一种情况，uj从-1变到1，则Sj≥0,因此Ei减小；第二种情况，uj从1变到-1,则Sj<0，因此亦有Ei减小。可uj状态转换过程是一个能量极小化的过程。
Hopfield网络可用做联想存储器，但有两个局限性，第一，类别数目不能太多，否则会收敛到虚假的输出。一般来讲，类别数目应满足<0.15n。例如10个类别所需要的神经元达70个以上。第二，各类信号如果相同位数较多的话，可能会发生混淆的现象。
8.神经网络的应用
神经网络应用范围广泛，由于它的自学习、自组织能力，能从大量样本中提取特征，进而形成某种模式。因此，在模式识别、人工智能和组合优化的应用中显示出明显的优势。
例如，在生物领域中，可利用人工神经网络对人的大脑做更深入的研究，还可以建立视网膜的模型；在商业事务领域中，估算地质结构中含原油的可能性，确认某些特殊位置的合作人选，建立矿产资源公共数据库，优化飞机航线的座位以及费用规划，识别手写体字符，特别是对于印刷体字符的识别以达到实用阶段。在军事领域中，可对雷达信号进行分类，制造智能武器，优化利用侦察资源，识别与跟踪目标等。
神经网络特别擅长处理多种模式识别任务，比传统的人工智能做的要好。Intel公司投资建造了一个用于表达人类语音的小型应用系统，通过限制每次仅一个人讲话，并且使用了大约一百个独立的单词或词语。如果用讲话者本人的声音来训练系统，语音识别神经网络能达到90%以上的正确率。自从1983年开始，这个声音控制数据输入系统已经投入到各种制造业的应用中了。