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5.发现多变元多项式关系的MP系统
发现数值间的关系在科学发现中占有重要地位。BACON.2 和BACON.4系统可以发现形如y＝f(x)的两变元多项式关系。MP系统提供了发现多变元间多项式函数关系的算法。
(1)多变元多项式关系的发现
先看三变元的例子。设z＝f(x,y)为多项式关系。它可改写为
z＝gn(x)yn+…+g1(x)・y+g0(x)
关于y的多项式中的系数是x的多项式。先固定x，得出y2间的一个关系。再改变x值，对x不同值得到y与z间一系列关系。最后确定gi(x)的形式。
要发现形如y＝f(
，
，…，xm)的多项式关系，方法与三变元情况类似。y可写为
其中gi(
，，…，xm-1)也可表示为类似形式，直到为两变元关系才止。对于n可变这种一般情况，要解决下面三个相关联的问题：输入数据的表达及输入的方式；各中间过程的系数的形成及存放；由最后的系数表转化为-般代数表达式。发现两变元n次多项式关系至少需要(n+2)组数据。所以为确定y＝f(
,,…,xm)这个多项式关系，需要多组数据。这些数据存在一个数组中，数组每个元素为一组数据，形式为(y,,,…,xm)。例如，(7,1,2,3)表示f(1,2,3)＝7。
中间函数各系数的形成与存放采用递归的方法。由于采用多维矩阵保存系统中的数据，就为递归调用提供了方便。例如对y＝f(x1,x2,x3)，由前面形成了数据矩阵A。设有：
A(I,J,K)＝(y',x'1,x'2,x'3)
则对每一个固定的向量(x'1,x'2)，都可以归纳出一个在y'和x'3间的多项式关系。其系数表可以写为
cf(y，x3)＝(a3n,a3(n一1),…,a31,a30)
把数组元素(y',x'1,x'2,x'3)变成(cf(y,x3),x'1,x'2)，并存到A(I,J,0)中。而对每一个x'1，都可归纳出x'2和a3K间的多项式关系。依此类推进行递归调用，直到所有变元都考虑完为止。在递归中，数据信息每次都压缩一维。最后，总的系数表存在数组元素A(0,0,0)中。
下面举例说明如何由总系数表转化为一般表达式。设
A(0，0,0)＝(((1 2 1)(3-12))
((4 6 7) (8 9)))
则转化为
(2)对MP系统的评价
P.Langley和H.A.Simon等人研制的BACON.1到BACON.6这六个系统是发现数值经验定律的系统。但从数据环境中发现规律的功能这一点来看，BACON系统存在以下问题：
第一、对多变元没有一般的处理方法。
第二、在复杂的数据环境中，缺乏对有用变元进行选择的能力，从而表现出人为设计的味道。
第三、抗干扰能力差。
第四、能发现的函数类型很有限，除了受初等函数限制外，它也不能发现复合函数的一般关系。
MP系统正是在考察了BACON系统后，部分解决了以上问题。MP系统重新发现了理想气体状态方程、欧姆定律等可表示为多项式关系的物理学定律。如果加上一定的启发式，对变元作适当变换，并加强抗干扰能力，MP系统将能发现BACON系统能发现的绝大部分经验定律。
MP系统的能力仍然相当有限。实际上，找出一种经验关系是一个建立模型的过程。这个模型在MP系统中就是一个函数。它概括了用户提供的一系列自变元与函数值的关系。但是数值环境中的模型决不限于初等函数。例如，在物理、化学和其它科学中，在定量分析一个动态过程时，一般都用微分方程描述。如何建立微分方程还有待进一步研究。
6.结论
基于归纳的发现，系统CASM以模型思想为指导，把定量与定性分析结合起来，模拟了化学史上若干发现过程。它强调知识的获取、应用与完善的统一，同时提出了多变元多项式关系发现的一般方法。