1．启发式搜索算法A

　　启发式搜索算法A，一般简称为A算法，是一种典型的启发式搜索算法。其基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，找出一个最有希望的节点来扩展。
评价函数的形式如下：
f（n）＝g（n）＋h（n）
其中n是被评价的节点。
f（n）、g（n）和h（n）各自表述什么含义呢？我们先来定义下面几个函数的含义，它们与f（n）、g（n）和h（n）的差别是都带有一个"*"号。
g*(n)：表示从初始节点s到节点n的最短路径的耗散值；
h*(n)：表示从节点n到目标节点g的最短路径的耗散值；
f*(n)=g*(n)+h*(n)：表示从初始节点s经过节点n到目标节点g的最短路径的耗散值。
　　而f（n）、g（n）和h（n）则分别表示是对f*（n）、g*（n）和h*（n）三个函数值的的估计值。是一种预测。A算法就是利用这种预测，来达到有效搜索的目的的。它每次按照f(n)值的大小对OPEN表中的元素进行排序，f值小的节点放在前面，而f值大的节点则被放在OPEN表的后面，这样每次扩展节点时，都是选择当前f值最小的节点来优先扩展。

利用评价函数f（n）＝g（n）＋h（n）来排列OPEN表节点顺序的图搜索算法称为算法A。
过程A
①OPEN:＝（s），f（s）:＝g（s）+h（s）;
②LOOP：IF OPEN＝（ ）THEN EXIT（FAIL）；
③n:＝FIRST（OPEN）；
④IF GOAL（n）THEN EXIT（SUCCESS）；
⑤REMOVE（n，OPEN），ADD（n，CLOSED）；
⑥EXPAND（n）→{mi}，计算f（n，mi）＝g（n，mi）+h（mi）；g（n，mi）是从s通过n到mi的耗散值，f（n，mi）是从s通过n、mi到目标节点耗散值的估计。
・ADD（mj，OPEN），标记mi到n的指针。
・IF f（n，mk）<f（mk）THEN f（mk）:＝f（n，mk），标记mk到n的指针；比较f（n，mk）和f（mk），f（mk）是扩展n之前计算的耗散值。
・IF f（n，m1）<f（m1）THEN f（m1）:＝f（n，m1），标记m1到n的指针，ADD（m1，OPEN）；当f（n，m1）<f（m1）时，把m1重放回OPEN中，不必考虑修改到其子节点的指针。
⑦OPEN中的节点按f值从小到大排序；
⑧GO LOOP；

　　A算法同样由一般的图搜索算法改变而成。在算法的第7步，按照f值从小到大对OPEN表中的节点进行排序，体现了A算法的含义。
　　算法要计算f(n)、g(n)和h(n)的值，g(n)根据已经搜索的结果，按照从初始节点s到节点n的路径，计算这条路径的耗散值就可以了。而h(n)是与问题有关的，需要根据具体的问题来定义。有了g(n)和h(n)的值，将他们加起来就得到f(n)的值了。
　　在介绍一般的图搜索算法时我们就曾经让大家注意过，在这里我们再强调一次，请大家注意A算法的结束条件：当从OPEN中取出第一节点时，如果该节点是目标节点，则算法成功结束。而不是在扩展一个节点时，只要目标节点一出现就立即结束。我们在后面将会看到，正是由于有了这样的结束判断条件，才使得A算法有很好的性质。

　　算法中f（n）规定为对从初始节点s出发，约束通过节点n到达目标点t，最小耗散值路径的耗散值f*(n)的估计值，通常取正值。f（n）由两个分量组成，其中g（n）是到目前为止，从s到n的一条最小耗散值路径的耗散值，是作为从s到n最小耗散值路径的耗散值g*(n)的估计值，h（n）是从n到目标节点t，最小耗散值路径的耗散值h*(n)的估计值。
　　设函数k（ni，nj）表示最小耗散路径的实际耗散值（当ni到nj无通路时则k（ni，nj）无意义），则g*（n）＝k（s，n），h*（n）＝min k（n，ti），其中ti是目标节点集，k（n，ti）就是从n到每一个目标节点最小耗散值路径的耗散值，h*（n）是其中最小值的那条路径的耗散值，而具有h*（n）值的路径是n到ti的最佳路径。由此可得f*（n）＝g*（n）＋h*（n）就表示s→ti并约束通过节点n的最佳路径的耗散值。当n＝s时，f*（s）=h*（s）则表示s→ti无约束的最佳路径的耗散值，这样一来，所定义的f（n）=g（n）+h（n）就是对f*(n)的一个估计。g（n）的值实际上很容易从到目前为止的搜索树上计算出来，不必专门定义计算公式，也就是根据搜索历史情况对g*(n)作出估计，显然有g(n)≥g*(n)。　　　h(n)则依赖于启发信息，通常称为启发函数，是要对未来扩展的方向作出估计。算法A是按f(n)递增的顺序来排列OPEN表的节点，因而优先扩展f（n）值小的节点，体现了好的优先搜索思想，所以算法A是一个好的优先的搜索策略。图2.6表示出当前要扩展节点n之前的搜索图，扩展n后新生成的子节点m1（∈{mj}）、m2（∈{mk}）、m3（∈{m1}）要分别计算其评价函数值：

图2.6 搜索示意图

f(m1)=g(m1)+h(m1)
f(n，m2)=g(n，m2)+h(m2)
f(n，m3)=g(n，m3)+h(m3)
然后按第6步条件进行指针设置和第7步重排OPEN表节点顺序，以便确定下一次要扩展的节点。

用A算法来求解一个问题，最主要的就是要定义启发函数h(n)。对于8数码问题，一种简单的启发函数的定义是：
h(n) ＝ 不在位的将牌数
什么是"不在位的将牌数"呢？我们来看下面的两个图。

其中左边的图是8数码问题的一个初始状态，右边的图是8数码问题的目标状态。我们拿初始状态和目标状态相比较，看初始状态的哪些将牌不在目标状态的位置上，这些将牌的数目之和，就是"不在位的将牌数"。比较上面两个图，发现1、2、6和8四个将牌不在目标状态的位置上，所以初始状态的"不在位的将牌数"就是4，也就是初始状态的h值。其他状态的h值，也按照此方法计算。

下面再以八数码问题为例说明好的优先搜索策略的应用过程。设评价函数f(n)形式如下：
f(n)=d(n)+W(n)
其中d(n)代表节点的深度，取g(n)=d(n)表示讨论单位耗散的情况；取h(n)=W(n)表示"不在位"的将牌个数作为启发函数的度量，这时f(n)可估计出通向目标节点的希望程度。图2.7表示使用这种评价函数时的搜索树，图中括弧中的数字表示该节点的评价函数值f。算法每一循环结束时，其OPEN表和CLOSED表的排列如下：

根据目标节点L返回到s的指针，可得解路径S(4)，B(5)，E(5)，I(5)，K(5)，L(5)

图2.7给出的是使用A算法求解8数码问题的搜索图。其中A、B、C等符号，只是为了标记节点的名称，没有特殊意义。这些符号旁边括弧中的数字是该节点的评价函数值f。而圆圈中的值，则表示节点的扩展顺序。
从图中可以看出，在第二步选择节点B扩展之后，OPEN表中f值最小的节点有D和E两个节点，他们的f值都是5。在出现相同的f值时，A算法并没有规定首先扩展哪个节点，可以任意选择其中的一个节点首先扩展。